Konkoly Istvánt 1954-ben a szombathelyi székesegyházban szentelték pappá, azt követően Gyöngyösfaluban, Szombathelyen, Rábagyarmaton, Jánosházán káplánként, Szőcén önálló lelkészként szolgált, majd 1963-ban Kovács Sándor akkori megyéspüspök titkára, 1972-ben Gencsapáti község plébánosa lett.
II. János Pál pápa 1987 június 5-én szombathelyi megyéspüspökké nevezte ki, július 11-én pedig Paskai László bíboros, esztergom-budapesti érsek püspökké szentelte. Kevéssel a szentelése után a Magyar Katolikus Püspöki Konferencia megválasztotta őt az Országos Liturgikus Tanács elnökévé. Ezt a tisztséget egészen nyugdíjba vonulásáig betöltötte.
Püspökségének ideje alatt az egyházmegye életének kiemelkedő eseménye volt 1991-ben II. János Pál pápa szombathelyi látogatása, az 1998-ban megtartott egyházmegyei zsinat, 2001-ben a Szenttéavatási Kongregációnál Brenner János boldoggá avatásának elindítása, valamint 2003-ban Batthyány-Strattmann László boldoggá avatása.
Konkoly István csaknem két évtizedes püspöki szolgálata alatt több mint negyven templom, kápolna, plébániai és közösségi ház épült, egyebek között az ő idejében indult és fejeződött be az 1945-ben súlyosan megrongálódott szombathelyi székesegyház belső felújítása is. Újraindított különféle oktatási és nevelési, kulturális és szociális intézményeket, iskolákat alapított, a nevéhez fűződik például a Martineum Felnőttképző Akadémia és a Szombathelyi Hittanárképző Főiskola elindítása.
